중 1-2- 3. 입체도형 - 21. 구의 겉넓이와 부피

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구의 겉넓이

반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이를 S라 하면

반지름의 길이가 r인 구의 겉면을 끈으로 감은 후 그 끈을 평면 위에 감아

원을 만들면 반지름의 길이가 2r가 된다.

즉, 반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이는 반지름의 길이가 2r인 원의 넓이와 같으므로

반지름의 길이가 2cm인 구의 겉넓이= 4 x π x 2 x 2 = 16π

 

구의 부피

반지름의 길이가 r인 구의 부피를 V라 하면

 

구를 여러 개의 각뿔 모양으로 나누어 생각하면

구의 부피는 각뿔의 부피의 합과 같고

구의 겉넓이는 각뿔의 밑넓이의 합과 같다.

여기서 각뿔의 높이는 구의 반지름의 길이와 같다고 볼 수 있으므로

이때 구의 반지름의 길이를 r라 하면 구의 겉넓이는 4πr^2이므로

반지름의 길이가 6cm인 구의 부피: 4/3 x π x 6 x 6 x 6 = 288π

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원기둥에 꼭 맞게 들어가는 구의 부피

밑면인 원의 지름의 길이와 높이가 구의 지름의 길이와 같은 원기둥 모양의 그릇에 구를 넣고 물을 가득 채운 다음 구를 꺼내면 남은 물의 높이는 원기둥의 높이의 1/3이 된다고 한다.

 

반지름의 길이가 r인 구의 부피는 넘쳐 흐른 물의 부피와 같으므로 원기둥의 부피의 2/3 가 됨을 알 수 있다.

 

아래 그림에서 구와 원뿔, 원기둥의 부피의 비를 구하시오.