중1-1. 소인수분해 - (2)소인수분해

 소인수분해는 말 그대로 소수인 약수들을 쪼개는 것이다.

 

 

 

 

위 그림처럼 72를 쪼개어 볼 수도 있고,

위 그림처럼 1말고 더 이상 안 나눠질 때까지 나눠주면 된다.

그 다음, 빨간 부분을 모두 곱하여 72를 거듭제곱 꼴로 표현할 수 있다.

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = $2^3$ x $3^2$

 

그럼 다음 수 들을 소인수분해하여 거듭제곱 꼴로 표현해 보자. 

1. 84 = $2^2$ x 3 x 7

2. 100 = $2^2$ x 5

3. 128 = $2^7$

4. 144 = $2^4$ x $3^2$

5.150 = 2 x 3 x $5^2$

 

★72의 약수의 개수는?

72를 거듭제곱 꼴로 표현하면 $2^3$ x $3^2$ 이고,

나올 수 있는 약수들을 표로 그려보면,

x	1	2	$2^2$	$2^3$
1	1	2	$2^2$	$2^3$
3	3	2 x 3	$2^2$ x 3	$2^3$ x 3
$3^2$	$3^2$	2 x $3^2$	$2^2$ x $3^2$	$2^3$ x $3^2$

나올 수 있는 약수들을 표를 보고 세보면, 12개임을 확인할 수 있다.

하지만 거듭제곱이 많아지고, 소수들이 많으면 표로 써보는 데는 한계가 있다.

약수의 개수 공식: 지수에 1씩 더한 후 곱한다.

$2^3$ x $3^2$ 에서 지수는 각각 3, 2 이므로 1씩 더하면 4, 3이 된다. 이를 곱하면 12. 이렇게 약수를 구하면 된다.

 

다음 주어진 수들의 소인수와 약수의 개수를 구해보자. (소인수분해와 소인수를 구분해야 한다.) 

1. 84

   2, 3, 7 / 3 x 3 x 2 = 12개

2. 100

   2, 5 / 3 x 3 = 9개

3. 128

   2 / 8개

4. 144

   2, 3 / 5 x 3 = 15개

5. 150

   2, 3, 5 / 2 x 2 x 3 = 12개

72의 모든 약수들의 합을 구해보자.

72 = $2^3$ x $3^2$ 

(1 + 2 + $2^2$ + $2^3$) x ( 1+ 3 + $3^2$) = 195

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.

.

ex) 84의 약수들의 합 공식 ($2^2$ x 3 x 7)

(1+2+$2^2$) x (1+3) x (1+7)

 

★250에 가장 작은 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려고 한다. 어떤 수를 곱해야 하는가.

250 = 2 x 5 x 5 x 5

제곱이 되려면 소인수들이 짝수개씩 짝이 지어져야 한다.

따라서 2가 한 개이므로 2를 하나 더 넣어 $2^2$ 을 만들어 주고, 5가 3개이므로 5를 하나 더 넣어 $5^4$를 만들어준다.

2 x 5 x 5 x 5 x 5 x 2 = (2 x 5 x 5)$^2$ = $50^2$

∴ 250에 10을 곱하면 50의 제곱이 된다.

 

★180을 자연수로 나누어 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 나눌 수 있는 가장 작은 자연수를 구하여라.

180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5

제곱이 되려면 소인수들이 짝수개씩 짝이 지어져야하지만, 5는 짝을 짓지 못 하므로 5를 없애줘야 한다.

2 x 2 x 3 x 3 x 5 ÷ 5 = (2 x 3)$^2$ = $6^2$

∴ 180을 5로 나누면 6의 제곱이 된다.